Рашид Бейбутов родился 14 декабря 1915 года в Тифлисе.

Его отец – Меджид Бейбутов – был известным народным певцом-ханенде из Шуши. Мать Рашида – Фируза Векилова – была преподавателем русского языка, а также руководителем драматического кружка в Тифлисском клубе.

В 1933-м Рашид Бейбутов поступил в железнодорожный техникум, где организовал самодеятельный студенческий оркестр. Затем пошел в армию, где стал солистом армейского ансамбля.

После окончания службы он некоторое время работает в одном из тбилисских эстрадных коллективов. С  1933 по 1944 гг. являлся солистом известного в 30-е годы Государственного джаза Армении под управлением композитора А. Айвазяна и много гастролировал с ансамблем по стране. Одновременно Рашид Бейбутов  начал петь в Государственном театре оперы и балета имени Спендиарова в Ереване.

В годы войны вместе с Джазом Айвазяна много выступает на Крымском фронте. В 1944-1956 годы Бейбутов был солистом Бакинской филармонии, в 1953-1960-м – солистом Азербайджанского театра оперы и балета. В начале 50-х годов Бейбутов побывал на гастролях в Болгарии, Венгрии, Италии, Индии, Китае. В 1957 году создал при Азербайджанской филармонии концертный ансамбль, объединяющий стилистику джаза и азербайджанские народные инструменты.

Рашид Бейбутов много и успешно гастролировал по различным регионам СССР и зарубежным странам, обязательно включая в свой репертуар песни на языках народов тех стран, где выступал. Известен случай, когда жители одной из индийских деревень перекрыли движение на железной дороге и не отпускали состав с советскими артистами, пока перед ними не выступил Бейбутов. Выступал он также в Сирии, Турции, Египте, Иордании, Иране, Ираке, Финляндии, Польше и в странах Латинской Америки.

В 1930-1940 годах на волне моды на высокие мягкие мужские голоса Бейбутов обрел широкую популярность как в республиках Кавказа и Закавказья, так и в России. Голос Бейбутова – очень высокий лирический тенор, приятного нежного и теплого тембра, широкого диапазона, сочетающий в себе европейскую постановку и певческое дыхание и свободную гортанную манеру пения, характерную для мугама.

Бейбутов много сделал для становления национальной оперы и музыкальной комедии. Выигрышная сценическая внешность, большой артистический талант и обаяние, способность к пониманию любой национальной музыки принесли Бейбутову огромный успех, сопровождавший его на протяжении всей жизни. Помимо песен народов Кавказа, Бейбутов пел русские народные песни, классические романсы XIX века, выступая очень тонким и чувствительным интерпретатором.

В 1943 году Бакинская киностудия решила создать фильм «Аршин мал-алан» по одноименной оперетте Узеира Гаджибейли. Один из постановщиков фильма случайно оказался на концерте в Доме офицеров в Баку, где Бейбутов исполнял арию Аскера, и пригласил Рашида на главную роль в фильме. Вышедший в 1945 году фильм с огромным успехом прошел на экранах СССР и многих зарубежных стран. В 1946 году за исполнение в фильме роли Аскера артисту  была присуждена Сталинская премия второй степени.

В 1966 году Бейбутов организовал Азербайджанский театр песни (сейчас носящий его имя) и руководил им до конца своих дней. В 1959 году ему было присвоено звание «народный артист СССР», в 1980 году – звание Героя Социалистического Труда.

Умер певец 9 июня 1989 года. Похоронен в Аллее почетного захоронения Баку.